Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P為面ADD₁A₁的對角線AD₁的中點．PM⊥平面ABCD交AD與M，MN⊥BD于N．
（1）求異面直線PN與A₁C₁所成角的大小；（結果可用反三角函數值表示）
（2）求三棱錐P-BMN的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）判斷出∠PNM為異面直線PN與A₁C₁所成角，在△PMN中，∠PMN為直角，tan∠PNM=

2

，求解得出異面直線PN與A₁C₁所成角的大小為arctan

2

．
（2）BN=

3 2

2

，運用VP-BMN=

1

3

•

1

2

•PM•MN•BN，求解得出體積．

解答： 解：（1）∵點P為面ADD₁A₁的對角線AD₁的中點，且PM⊥平面ABCD，
∴PM為△ADD₁的中位線，得PM=1，
又∵MN⊥BD，
∴MN=ND=

2

2

MD=

2

2

，
∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，
∴MN∥AC，
又∵A₁C₁∥AC，∠PNM為異面直線PN與A₁C₁所成角，
在△PMN中，∠PMN為直角，tan∠PNM=

2

，
∴∠PNM=arctan

2

．
即異面直線PN與A₁C₁所成角的大小為arctan

2

．

（2）BN=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，VP-BMN=

1

3

•

1

2

•PM•MN•BN，
代入數據得三棱錐P-BMN的體積為

1

4

．

點評：本題考查了空間直線的夾角問題，空間幾何體的體積計算，屬于中檔題．