Question

定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

則當x∈[-4，-2）時，函數f（x）的最小值為（　�。�

• A、-

  1

  16

• B、-

  1

  4

• C、-

  1

  2

• D、-

  1

  8

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由條件f（x+2）=2f（x）推出f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），再分當-4≤x＜-3與當-3≤x＜-2兩種情況，帶入分段函數分別求出最小值．

解答： 解：∵f（x+2）=2f（x），∴f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），
由-4≤x＜-2，得0≤x+4＜2，
當-4≤x＜-3時，0≤x+4＜1，∴f（x）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[（x+4）²-（x-4）]，由于對稱軸x+4=

1

2

，故當x+4=

1

2

時，f(x)min=

1

4

[(

1

2

)2-

1

2

]=-

1

16

；
當-3≤x＜-2時，1≤x+4＜2，∴f（x）=

1

4

f（x+4）=-

1

4

(

1

2

)|x+4-

3

2

|=-

1

4

(

1

2

)|x+

5

2

|，
由于復合函數y=-

1

4

(

1

2

)t為增函數，又|x+

5

2

|≥0，故當x+

5

2

=0時，f(x)min=-

1

4

(

1

2

)0=-

1

4

；
綜上f（x）取最小值-

1

4

，
故選：B．

點評：本題考查分段函數的應用，考查函數的最值及運用，同時考察二次函數、復合函數求最值，計算應細心．