Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱錐P-ACB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據圖形得出PD⊥AB．CD⊥AB，即可判斷AB⊥平面PCD．得證PC⊥AB
（2）轉化VP-ABC=

1

3

S△ABC×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

求解即可．

解答： 證明：（1）取AB中點D，連結PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．

∵AC=BC．
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D．
∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB．
（2）（2）在Rt△ABC中，
AC=BC=2
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
在Rt△PDB中PB=2

2

，BD=

2

∴PD=

PB2-BD2

=

6

，
又∵PC⊥AC，PC⊥AB，AB∩AC=A
∴PC⊥平面ABC
∴PC⊥CD   
∴PC=

PD2-CD2

=2，
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

點評：本題考查了空間幾何體的體積計算，空間直線與直線的位置關系，屬于中檔題．