Question

拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，準線l與x軸相交于點A（-1，0），過點A的直線與拋物線相交于P、Q兩點． 
（1）求拋物線的方程；
（2）若

FP

•

FQ

=0，求直線PQ的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件設出拋物線方程，求出準線方程，由交點A，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）設直線AP：y=k（x+1），代入拋物線方程，消去y，運用韋達定理，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，得到k的方程，解得k，再檢驗判別式是否大于0，即可得到直線PQ的方程．

解答： 解：（1）拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，
可設拋物線方程為y²=2px，準線為x=-

p

2

，
由于準線l與x軸相交于點A（-1，0），則

p

2

=1，解得p=2，
則拋物線方程為y²=4x；
（2）顯然直線AP的斜率不為0，則設直線AP：y=k（x+1），代入拋物線方程，
消去y，得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
則判別式△=（2k²-4）²-4k⁴＞0，解得，-1＜k＜1．
x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=

16x1x2

=4，
由于

FP

•

FQ

=0，則（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
即有x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=0，
即6-

4-2k2

k2

=0，解得，k²=

1

2

，即k=±

2

2

．
檢驗滿足-1＜k＜1，
則所求直線PQ的方程為：y=±

2

2

（x+1）．

點評：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，同時考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．