Question

如圖，在幾何體ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC為邊長等于2的正三角形，CD=2

3

，BD=4，M為CD的中點．
（Ⅰ）證明：平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-M的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BC⊥CD，利用平面ABC⊥平面BCD，可得DC⊥平面ABC，即可證明平面ECD⊥平面ABC．
（Ⅱ）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角C-AB-M的大小．

解答： 證明：（Ⅰ）在△BCD中，BC=2，CD=2

3

，BD=4，
∴BC²+CD²=BD²，
∴BC⊥CD，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
∵DC?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中點F，BD的中點為N，連接AF，FN．
則在等邊三角形ABC中，AF⊥BC，且AF=

3

，
∵平面ECD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
∴AF⊥面BCD，
在△BCD中，BF=CF，BN=ND，
∴FM∥CD，
由（1）知CD⊥BC，
∴FM⊥BC．以F為坐標原點，分別以FB，FN，FA為x，y，z軸，建立直角坐標系，
則A（0，0，

3

），B（1，0，0），C（-1，0，0），M（-1，

3

，0），
故

AB

=(1，0，-

3

)，

AM

=(-1，

3

，-

3

)，
故面ABM的法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n • AB =0 n • AM =0

，得

x- 3 z=0 -x 3 y- 3 z=0

，
令x=

3

，則y=2，z=1，
故

n

=(

3

，2，1)，為平面ABM的一個法向量，
由（Ⅰ）知，

CM

=（0，

3

，0）為平面ABC的有關法向量，
故cos＜

n

，

CM

＞=

n • CM

| n || CM |

=

2 3

3+1+4 × 3

=

2

2

，
故二面角C-AB-M的大小為

π

4

．

點評：本題主要考查面面垂直的判斷以及二面角的求解，利用向量法是解決本題的關鍵．