Question

已知平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)拋物線c：y=2（x-

3

-3cosθ）²+1+3sinθ（θ任意實(shí)數(shù)），以O(shè)x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+

π

6

）=0．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和動(dòng)拋物線c的頂點(diǎn)的軌跡E的參數(shù)方程；
（2）求直線l被曲線E截得的弦長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式能求出直線l的直角坐標(biāo)方程和軌跡E的參數(shù)方程．
（Ⅱ）軌跡E的普通方程為（x-

3

）²+（y-1）²=9，軌跡E為圓，求出圓心D（

3

，1）到直線l：

3

x-y=0的距離，由此能求出直線l被曲線E截得的弦長．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+

π

6

）=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程是

3

x-y=0，3分
∵動(dòng)拋物線c：y=2（x-

3

-3cosθ）²+1+3sinθ（θ任意實(shí)數(shù)），
∴軌跡E的參數(shù)方程是

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

．（θ為參數(shù)）.5分
（Ⅱ）軌跡E的普通方程為（x-

3

）²+（y-1）²=9，軌跡E為圓，6分
則圓心D（

3

，1）到直線l：

3

x-y=0的距離d=

| 3 • 3 -1|

2

=1，7分
所以直線l被曲線E截得的弦長=2

9-1

=4

2

.10分

點(diǎn)評：本題本題考查對參數(shù)方程的理解、表達(dá)和與普通方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．同時(shí)考查了直線被圓所截的弦長的求法．