Question

13．（1）設數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1=a_n+2ⁿ，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，利用等差數列的求和公式即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）依題意，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1，利用等比數列的求和公式即可得到數列{a_n}的通項公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
即數列{a_n}的通項公式為：a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2¹+1=$\frac{1{-2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ-1．

點評 本題考查數列遞推式的運用，突出考查累加法的運用，考查等差數列與等比數列的求和公式的運用，屬于中檔題．