Question

3．已知正三棱臺（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面邊長分別是2cm和4cm，側棱長是$\sqrt{6}$cm，試求該三棱臺的側面積與體積（V_棱臺=$\frac{1}{3}$（S+$\sqrt{SS′}$+S′）h）．

Answer 1

分析 設O′、O分別是上、下底面的中心，連結OO′、O′B′、OB，在平面BCC′B′內過B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′內作B′E⊥OB于E，求出棱臺高為$\frac{\sqrt{42}}{3}$cm，梯形有高為$\sqrt{5}$，由此能求出該三棱臺的側面積和體積．

解答 （本小題滿分12分）
解：如圖所示，O′、O分別是上、下底面的中心，
連結OO′、O′B′、OB，
在平面BCC′B′內過B′作B′D⊥BC于D，
在平面BOO′B′內作B′E⊥OB于E，
∵△A′B′C′是邊長為2的等邊三角形，O′是中心，
∴O′B′=$\frac{2}{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△B′EB中，$B{B}^{'}=\sqrt{6}$，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴B′E=$\frac{\sqrt{42}}{3}$，即棱臺高為$\frac{\sqrt{42}}{3}$cm，
∴三棱臺的體積為：
${V}_{棱臺}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{42}}{3}（\frac{\sqrt{3}}{4}×16+\frac{\sqrt{3}}{4}×4+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}×16×\frac{\sqrt{3}}{4}×4}）$=$\frac{7\sqrt{14}}{3}$（cm³）．
∵棱臺的側面是等腰梯形，
∴BD=$\frac{1}{2}（4-2）=1$，
在Rt△B′DB中，BB′=$\sqrt{6}$，BD=1，
∴B′D=$\sqrt{5}$，即梯形有高為$\sqrt{5}$，
∴該三棱臺的側面積S_側=3×$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{5}$=9$\sqrt{5}$（cm²）．
該三棱臺的側面積為$9\sqrt{5}$cm²，體積為$\frac{7}{3}\sqrt{14}$cm³．

點評 本解決棱錐、棱臺的側面積、表面積及體積問題時，往往將已知條件歸結到一個直角三角形中求解，為此在解此類問題時，要注意直角三角形的應用．