Question

3．已知函數f（x）=ax²-2ax+2+a（a＜0），若f（x）在區間[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上單調，求數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的開口方向和對稱軸，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表達式，根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）因為函數的圖象是拋物線，a＜0，
所以開口向下，對稱軸是直線x=1，
所以函數f（x）在[2，3]單調遞減，
所以當x=2時，y_max=f（2）=2+a=1，
∴a=-1-----------------------（5分）
（2）因為a=-1，∴f（x）=-x²+2x+1，
所以g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+1，
$g（x）的圖象開口向下，對稱軸為直線x=\frac{2-m}{2}$，
∵g（x）在[2，4]上單調，
∴$\frac{2-m}{2}≤2，或\frac{2-m}{2}≥4$，
從而m≤-6，或m≥-2
所以，m的取值范圍是（-∞，-6]∪[-2，+∞）----------------------------------------------------（10分），

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．