Question

19．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且．PA⊥平面ABCD．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）求頂點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （I）推導出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能證明AC⊥平面PAB，從而PB⊥AC．
（Ⅱ）推導出AC⊥CD，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，進而平面PCD⊥平面PAC，過A作AH⊥PC，垂足為H，則AH⊥平面PCD，由此能求出A到平面PCD的距離．

解答 （本題滿分12分）
證明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC；…（2分）
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴AC²=AB²+BC²-2 AB•BC cos60°=1+4-2=3，則AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，…（4分）
又PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…（6分）
解：（Ⅱ）由（I）知：AC⊥CD，又PA⊥CD，則CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；…（8分）
過A作AH⊥PC，垂足為H，則AH⊥平面PCD；…（10分）
在Rt△PAC中，AH=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即A到平面PCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力，空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．