Question

14．如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E為DC上一點，且$\overrightarrow{DE}$=3$\overrightarrow{EC}$，F為BC的中點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=20．

Answer 1

分析 利用向量的加法法則與共線向量基本定理把$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{AF}$用基向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示，展開數量積得答案．

解答 解：如圖，在正方形ABCD中，AD=4．
∵$\overrightarrow{DE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{DE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，
又F為BC的中點，
∴$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}）$=$（\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$
=$\frac{3}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{11}{8}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{4}×16+\frac{1}{2}×16=20$．
故答案為：20．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查向量的加法法則與共線向量基本定理的應用，是中檔題．