Question

4．已知p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1），q：函數f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零點，若“p且q”為真命題，則實數m的取值范圍為（1，+∞）．

Answer 1

分析 p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1）?m＞$（\frac{2x}{{x}^{2}+1}）_{max}$，利用基本不等式的性質即可得出．q：函數f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零點，可得m=（2^x-1）²-2≥-2．利用“p且q”為真命題，即可得出．

解答 解：p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1），∴m＞$（\frac{2x}{{x}^{2}+1}）_{max}$，∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{2x}{2x}$=1，當且僅當x=1時取等號．
∴m＞1．
q：函數f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零點，∴m=（2^x-1）²-2≥-2．當且僅當x=0時取等號．
若“p且q”為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥-2}\end{array}\right.$，解得m＞1．
則實數m的取值范圍為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、基本不等式的性質、簡易邏輯的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．