Question

7．（1）若（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；
（2）（a+x）（a+x）⁴的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)．
（2）（2）設(shè)f（x）=（a+x）（a+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分別令x=1、x=-1，可得展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和，再根據(jù)展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和等于32，求得a的值．

解答 解：（1）由題意可得${C}_{n}^{4}$+${C}_{n}^{6}$=2${C}_{n}^{5}$，解得n=7 或n=14．
當(dāng)n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₄和T₅．
∴T₄ 的系數(shù)為${C}_{7}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$•2³=$\frac{35}{2}$，T₅的系數(shù)為${C}_{7}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•2⁴=70，
當(dāng)n=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₈．
∴T₈的系數(shù)為${C}_{14}^{7}$•${（\frac{1}{2}）}^{7}$•2⁷=3432．
（2）設(shè)f（x）=（a+x）（a+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，則=a₀+a₁+a₂+…+a₅=f（1）=16（a+1）…①，
令x=-1，則f（-1）=a₀-a₁+a₂+…+-a₅=0，②，
①-②得，2（a₁+a₃+a₅）=16（a+1），
根據(jù)題意可得2×32=16（a+1），
∴a=3．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，注意通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于中檔題．