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19.設(shè)兩個向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2,|$\overrightarrow{b}$|=1,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夾角為60°,若向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍.

分析 設(shè)出向量夾角為θ,結(jié)合向量夾角是鈍角,得cosθ<0,且cosθ≠-1,即2t2+15t+7<0,且$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$,由此求得實數(shù)t的取值范圍.

解答 解:由題意可得 $\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=2×1×cos60°=1,
設(shè)向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的夾角為θ,
則θ∈(90°,180°),則有 cosθ<0,且 cosθ≠-1.
即2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的不能反向共線,且向量數(shù)量積(2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$)<0,
設(shè)$2t\overrightarrow{{e}_{1}}+7\overrightarrow{{e}_{2}}$≠-k•($\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$),(k>0),則$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$.得t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$,
由(2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$)<0,得2t$\overrightarrow{a}$2+7t$\overrightarrow{b}$2+•(2t2+7)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$<0,
∴2t2+15t+7<0,
解得 $-7<t<-\frac{1}{2}$ 且t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$,
故實數(shù)t的取值范圍為{t|$-7<t<-\frac{1}{2}$,且$t≠-\frac{\sqrt{14}}{2}$}.

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)向量夾角和向量數(shù)量積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.注意要去掉向量反向共線的情況.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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9.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x-$\frac{π}{6}$),(x∈R),有下列命題
①若f(x1)=f(x2)=0,則|x1-x2|必是π的整數(shù)倍;
②函數(shù)y=f(x)在[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}}$]單調(diào)遞增;
③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(-$\frac{π}{6}$,0)對稱
④函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱.
所有正確命題的序號是②④.

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10.已知△ABC中,$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$),|$\overrightarrow{CP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=1,點Q是邊AB(含端點)上一點且$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$,則|$\overrightarrow{CQ}$|的取值范圍是[$\frac{1}{2}$,1].

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7.設(shè)x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0,y≥0\end{array}\right.$,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為8,則$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值為$\frac{16}{3}$.

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14.函數(shù)f(x)=$\frac{1}{\sqrt{1-{2}^{x}}}$的定義域是(-∞,0).

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4.已知含有三個元素的集合{a,$\frac{b}{a}$,1}={a2,a+b,0},則a2016+b2017=1.

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11.點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1上運動,點A、B分別在x2+(y-4)2=16和x2+(y+4)2=4上運動,則PA+PB的最大值16.

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8.三視圖如圖所示的幾何體的體積為$\frac{3}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.六個人按下列要求站成一排,分別有多少種不同的站法?
(1)甲、乙必須相鄰;
(2)甲、乙不相鄰;
(3)甲、乙之間恰有兩人;
(4)甲不站在左端,乙不站在右端.

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同步練習(xí)冊答案
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