Question

7．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識先求出a，b的關系，然后利用基本不等式求則$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
作出可行域如圖：
，
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線，由圖象可知當直線經過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由 $\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此時z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$）（$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$）
=$\frac{1}{3}$+3+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥$\frac{10}{3}$+2$\sqrt{\frac{b}{2b}•\frac{2a}{b}}$=$\frac{16}{3}$，
當且僅當$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{b}$時取=號，
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查線性規劃的應用以及基本不等式的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．