Question

9．關于函數f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），有下列命題
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則|x₁-x₂|必是π的整數倍；
②函數y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]單調遞增；
③函數y=f（x）的圖象關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱．
所有正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 根據正弦型函數的圖象和性質，逐一分析四個命題的真假，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（x∈R），
∴①若f（x₁）=f（x₂）=0，則|x₁-x₂|必是$\frac{π}{2}$的整數倍，故錯誤；
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
故②函數y=f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]單調遞增；故正確；
當x=-$\frac{π}{6}$時，2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1≠0，
③函數y=f（x）的圖象不關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱，而關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱，故錯誤；
當x=$\frac{π}{3}$時，2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱．故正確；
故答案為：②④

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，三角函數的圖象和性質，難度中檔．