Question

10．已知△ABC中，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），|$\overrightarrow{CP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=1，點Q是邊AB（含端點）上一點且$\overrightarrow{CQ}$•$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{CQ}$|的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 據題意即可得到AC⊥BC，從而可分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標系，然后設A（0，a），B（b，0），Q（x，y），從而得到P（$\frac{b}{2}，\frac{a}{2}$），這樣便可得到（x，y）•（b，a）=bx+ay=1，這即可得到（x²+y²）（a²+b²）≥（bx+ay）²，進而得到${x}^{2}+{y}^{2}≥\frac{1}{4}$．可寫出直線AB的方程為$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，進而得出$1=（bx+ay）（\frac{x}{b}+\frac{y}{a}）$，這便可得到x²+y²≤1，從而便可得出$|\overrightarrow{CQ}|$的取值范圍．

解答 解：根據題意知，AC⊥BC，則以CB，CA分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系：

設A（0，a），B（b，0），Q（x，y）；
|AB|=2，∴a²+b²=4；
$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$；
∴P為AB中點，則$P（\frac{b}{2}，\frac{a}{2}）$；
∴$\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow{CP}=（x，y）•（\frac{b}{2}，\frac{a}{2}）=\frac{bx}{2}+\frac{ay}{2}=\frac{1}{2}$；
∴（x，y）•（b，a）=bx+ay=1；
∴（x²+y²）（a²+b²）≥（bx+ay）²=1；
∴4（x²+y²）≥1；
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≥\frac{1}{2}$；
∴$|\overrightarrow{CQ}|≥\frac{1}{2}$；
又$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$；
∴$1=（bx+ay）（\frac{x}{b}+\frac{y}{a}）$=${x}^{2}+{y}^{2}+（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）xy$；
∵a＞0，b＞0，x≥0，y≥0；
∴x²+y²≤1；
即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤1$；
綜上得，$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow{CQ}|≤1$；
∴$|\overrightarrow{CQ}|$的取值范圍為$[\frac{1}{2}，1]$．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 考查直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，以及通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，根據點的坐標求向量坐標，中點坐標公式，向量數量積的坐標運算及計算公式，以及直線的斜截式方程．