Question

11．下列函數中，最小值為2的是（　　）

• A． f（x）=x+$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• D． y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Answer 1

分析 A．x＜0，f（x）＜0，最小值不可能為2，即可判斷出正誤．
B．由x∈（0，$\frac{π}{2}$），可得sinx∈（0，1），令sinx=t∈（0，1），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用導數研究其單調性即可判斷出正誤．
C．y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t∈[$\sqrt{2}$，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用導數研究其單調性即可判斷出正誤．
D．x＞1，令$\sqrt{x-1}$=t∈（0，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用導數研究其單調性即可判斷出正誤．

解答 解：A．x＜0，f（x）＜0，最小值不可能為2，因此不正確．
B．∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx∈（0，1），令sinx=t∈（0，1），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴函數g（t）單調遞減，∴g（t）＞g（1）=2，因此不正確．
C．y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t∈[$\sqrt{2}$，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，∴函數g（t）單調遞增，∴g（t）＞g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞2，因此不正確．
D．x＞1，令$\sqrt{x-1}$=t∈（0，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+1）（t-1）}{{t}^{2}}$，∴t=1時，函數g（t）取得最小值，∴g（t）＞g（1）=2，因此正確．
故選：D．

點評 本題考查了基本不等式的性質、利用導數研究其單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．