Question

17．已知函數f（x）的定義域為R，且在R上恒有f'（x）＞2，若f（1）=2，則不等式f（x）＞2x的解集為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 設F（x）=f（x）-2x，則F′（x）=f′（x）-2，由對任意x∈R總有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）-2＞0，所以F（x）=f（x）-2x在R上是增函數，由此能夠求出結果．

解答 解：設F（x）=f（x）-2x，
則F′（x）=f′（x）-2，
∵對任意x∈R總有f′（x）＞2，
∴F′（x）=f′（x）-2＞0，
∴F（x）=f（x）-2x在R上遞增，
∵f（1）=2，
∴F（1）=f（1）-2×1=0，
∵f（x）＞2x，
∴F（x）=f（x）-2x＞0，
∴x＞1．
故選：C．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性的應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．