Question

2．平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，垂足為E，|$\overrightarrow{AE}$|=2，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$=8．

Answer 1

分析 設對角線AC、BD相交于O點，根據平行四邊形的性質與向量加法法則，得到$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}$），代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AC}$，展開后即可求得答案．

解答 解：如圖，
設對角線AC、BD相交于O點，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}=2（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}）$，
因此，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AE}•（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EO}）$=2 ${\overrightarrow{AE}}^{2}+2\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EO}$，
∵|$\overrightarrow{AE}$|=2，$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{EO}$，
∴${\overrightarrow{AE}}^{2}=4$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EO}=0$，
此可得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AC}=8$．
故答案為：8．

點評 本題在平行四邊形中求向量的數量積，著重考查了平行四邊形的性質、向量的線性運算性質、向量的數量積及其運算性質等知識，屬于中檔題．