Question

16．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）設m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）確定函數的定義域，求導函數，由導數的正負明確的函數的單調區間；
（2）分類討論極值點與區間[m，2m]的位置關系，從而確定函數f（x）在[m，2m]上的單調性，即可求函數的最大值．

解答 解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，而x＞0，可得0＜x＜e，
令f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）；
（2）①當0＜2m≤e，即0＜m≤$\frac{e}{2}$時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=$\frac{ln（2m）}{2m}$，
②當m≥e時，由（1）知，函數f（x）在[m，2m]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（m）=$\frac{lnm}{m}$，
③當m＜e＜2m，即$\frac{e}{2}$＜m＜e時，由（1）知，函數f（x）在[m，e]上單調遞增，（e，2m]上單調遞減，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數的最值，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．