Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當x＞1時，證明：$\frac{2}{3}$x³＞$\frac{1}{2}$x²+lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；
（2）設g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx（x＞1），求出g（x）的導數，根據函數的單調性得到g（x）＞g（1），證出結論即可．

解答 解　（1）f（x）的定義域為（0，+∞），由題意得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0），
∴當a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．
當a＞0時，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{x2-a}{x}$=$\frac{?x-\sqrt{a}??x+\sqrt{a}?}{x}$．
∴當0＜x＜$\sqrt{a}$時，f′（x）＜0，當x＞$\sqrt{a}$時，f′（x）＞0．
∴當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（$\sqrt{a}$，+∞），單調遞減區間為（0，$\sqrt{a}$）．
（2）設g（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx（x＞1），
則g′（x）=2x²-x-$\frac{1}{x}$．
∵當x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴g（x）＞g（1）=$\frac{1}{6}$＞0．
即$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx＞0，
故當x＞1時，$\frac{2}{3}$x³＞$\frac{1}{2}$x²+lnx成立．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．