Question

20．已知函數g（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數g（x）的單調增區間；
（2）求函數g（x）在區間[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，求出導函數，令導函數大于0，求出x的范圍，寫出區間形式即得到函數f（x）的單調增區間．
（2）求出導函數，令導函數為0求出根，通過討論根與區間[1，e]的關系，判斷出函數的單調性，求出函數的最小值．

解答 解：f（x）的定義域為x＞0
（1）將a=1代入f（x）得f（x）=x²-3x+lnx
所以f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$
令f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1
所以函數的單調增區間（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-（2a+1）+a}{x}$
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$（舍）或x=a，
當a≤1時，在區間[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在區間[1，e]上的單調遞增
所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；
當1＜a＜e時，f（x）在[1，a]單調遞減，在[a，e]上單調遞增
所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；
當a≥e時，f（x）在[1，e]上單調遞減
所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和最值關系，熟練掌握利用導數研究函數的單調性、等價轉化、二次函數的性質等是解題的關鍵，屬于中檔題．