Question

12．已知函數f（x）=alnx+x²+bx+1在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-12=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1），得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：（1）求導f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x+b，由題意得：
f′（1）=4，f（1）=-8，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b+2=-8}\\{f′（1）=a+b+2=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
所以f（x）=12lnx+x²-10x+1；
（2）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-5x+6）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）遞增，在（2，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故f（x）極大值=f（2）=12ln2-15，
f（x）極小值=f（3）=12ln3-20．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．