Question

2．已知函數f（x）=|a²x²-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．
（1）當a＜0時，若函數y=f（x）-c恰有x₁，x₂，x₃，x₄這4個零點，求x₁+x₂+x₃+x₄的值；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）函數y=f（x）-c的零點可轉化為函數f（x）=|a²x²-1|+ax的圖象與直線y=c的交點問題，運用絕對值意義和二次函數圖象及二次方程韋達定理，即可得到所求值；
（2）運用分段函數表示f（x），結合圖象分析函數的單調性，即可得到f（x）在[-1，1]的最大值．

解答 解：（1）函數y=f（x）-c的零點可轉化為
函數f（x）=|a²x²-1|+ax的圖象與直線y=c的交點問題．
當a²x²≥1即|x|≥-$\frac{1}{a}$時，f（x）=a²x²+ax-1=（ax+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$；
當a²x²＜1即|x|＜-$\frac{1}{a}$時，f（x）=-a²x²+ax+1=-（ax-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$．
顯然當1＜c＜$\frac{5}{4}$時，y=f（x）-c有4個零點，
依次設為x₁，x₂，x₃，x₄，
則x₁，x₄是方程a²x²+ax-1=c的2個根，從而${x_1}+{x_4}=-\frac{1}{a}$，
由x₂，x₃是方程-a²x²+ax+1=c的2個根，知x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，
從而x₁+x₂+x₃+x₄=0．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+ax-1，|x|≥-\frac{1}{a}}\\{-{a}^{2}{x}^{2}+ax+1，|x|＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
結合圖形分析可得f（x）在$（{-∞，\frac{1}{a}}]$，$[{\frac{1}{2a}，-\frac{1}{a}}]$上單調遞減，
在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，+∞}）$上單調遞減，此時M（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{5}{4}$．
當$-1＜\frac{1}{a}$，即a＜-1時，f（x）在[-1，$\frac{1}{a}$]，[$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上單調遞減，
f（x）在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，1}]$上單調遞增，此時
M（a）=max{f（-1），f（$\frac{1}{2a}$），f（1）}
=max{a²-a-1，$\frac{5}{4}$，a²+a-1}
=max{a²-a-1，$\frac{5}{4}$}=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\\{\frac{5}{4}，\frac{1-\sqrt{10}}{2}＜a＜-1}\end{array}\right.$，
綜上述，
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}-a+1，-\frac{1}{2}≤a＜0}\\{\frac{5}{4}，a＜-\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數零點問題的解法，注意運用數形結合方法，考查化簡運算能力，屬于難題．