Question

7．已知函數f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0，a≠1）．
（1）當a＞1時，討論f（x）的奇偶性，并證明函數f（x）在（1，+∞）上為單調遞減；
（2）當x∈（n，a-2）時，是否存在實數a和n，使得函數f（x）的值域為（1，+∞），若存在，求出實數a與n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數單調性與奇偶性的定義判斷；
（2）令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，x∈（n，a-2），當a＞1時，要使f（x）的值域為（1，+∞），則須t∈（a，+∞），令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$，解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$．可得x∈（1，$\frac{a+1}{a-1}$）．則$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$；當0＜a＜1時，t∈（0，a），則x∈（$\frac{a+1}{a-1}，-1$），得$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$，（不合題意）．由此可得存在實數n=1，a=$2+\sqrt{3}$，當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞）．

解答 解：（1）f（x）的定義域為{x|x＜-1或x＞1}，關于原點對稱，
又f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{-1-x}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1+x}=-lo{g}_{a}\frac{x+1}{x-1}=-f（x）$，∴f（x）為奇函數，
證明：當a＞1時，設1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}-lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=$lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$，
∵$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}-1=\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）-（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}＞0$，
∴$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$＞1，又a＞1，∴log_a$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在（1，+∞）上為減函數；
（2）令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，x∈（n，a-2），
①當a＞1時，要使f（x）的值域為（1，+∞），則須t∈（a，+∞），
令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$，解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$．∴x∈（1，$\frac{a+1}{a-1}$）．
故有$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$；
②當0＜a＜1時，t∈（0，a），則x∈（$\frac{a+1}{a-1}，-1$），∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$，（不合題意）．
綜上所述，存在實數n=1，a=$2+\sqrt{3}$，當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞）．

點評 本題是函數的單調性與奇偶性的綜合題，考查函數單調性與奇偶性的判定方法，考查了函數值域的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．