Question

12．已知二次函數f（x）=ax²+bx+1和函數g（x）=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$，
（1）若f（x）為偶函數，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不等的實根x₁，x₂（x₂＜x₂），則
①試判斷函數f（x）在區間（-1，1）上是否具有單調性，并說明理由；
②若方程f（x）=0的兩實根為x₃，x₄（x₃＜x₄）求使x₁＜x₂＜x₃＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為偶函數，則b=0此時g（x）=$\frac{-1}{{a}^{2}x}$滿足g（-x）=-g（x）為奇函數；
（2）①由g（x）=x得有不等實根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其為一關于a，b的關系式，從中整理 得出對稱軸的范圍，知其不在區間（-1，1）上，故可證得函數在區間（-1，1）上具有單調性．
②方程f（x）=0為一二次函數其兩實根為x₃，x₄（x₃＜x₄），若x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立，即x₁，x₂在兩根之間，可由根的分布的相關知識將這一關系轉化為不等式，解出a的范圍

解答 解：（1）若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，解得：b=0，
此時g（x）=$\frac{-1}{{a}^{2}x}$滿足g（-x）=-g（x），
即g（x）為奇函數；（4分）
（2）①由g（x）=x得方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實根
∴△=b²-4a²＞0及a≠0得|-$\frac{b}{2a}$|＞1即-$\frac{b}{2a}$＜-1或-$\frac{b}{2a}$＞1（7分）
又f（x）的對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$∉（-1，1）
故f（x）在（-1，1）上是單調函數（10分）
②x₁，x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0
∴bx₁=-a²x₁²-1，同理bx₂=-a²x₂²-1
∴f（x₁）=ax₁²+bx₁+1=ax₁²-a²x₁²=（a-a²）x₁²
同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（{x}_{1}）＜0\\ f（{x}_{2}）＜0\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a-{a}^{2}＜0\end{array}\right.$，∴a＞1
或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ f（{x}_{1}）＞0\\ f（{x}_{2}）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ a-{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，解集為φ
故a的取值范圍a＞1（16分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．