Question

3．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若E是PC的中點，求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：PD⊥DC，PD⊥AD，再由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，結合底面是邊長為a的正方形，可得AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理，可得：平面PAC⊥平面PBD；
（3）過點E作EF⊥CD于F，過F作HF⊥BD于H，故∠FHE為二面角E-BD-C的平面角，解得：二面角E-BD-C的正切值．

解答 證明：（1）∵PD=a，DC=a，PC=$\sqrt{2}$a，
∴PC²=PD²+DC²，
∴PD⊥DC．
同理可證PD⊥AD，又AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB．
同時，AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）過點E作EF⊥CD于F，過F作HF⊥BD于H，

故∠FHE為二面角E-BD-C的平面角．
在Rt△EFH中，tan∠FHE=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是線面垂直的判定，面面垂直的判定，二面角的平面角及求解，難度中檔．