Question

11．已知函數f（x）=xln x，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a為實數）．
（1）當a=5時，求函數y=g（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出切點坐標，函數的導數，求出切線的斜率，然后求解切線方程．
（2）求出函數的定義域，函數的導數，通過導函數的符號，判斷函數的單調性，然后求解函數的最值．

解答 解：（1）當a=5時，
g（x）=（-x²+5x-3）e^x，g（1）=e．
又g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，故切線的斜率為g′（1）=4e．
所以切線方程為：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=ln x+1，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

①當t≥$\frac{1}{e}$時，在區間[t，t+2]上f（x）為增函數，所以f（x）_min=f（t）=tln t．
②當0＜t＜$\frac{1}{e}$時，在區間[t，$\frac{1}{e}$）上f（x）為減函數，在區間$（\frac{1}{e}，t+2]$上f（x）為增函數，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程，以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．