Question

6．已知函數f（x）=x³+ax²+c，當x=-1時，f（x）的極大值為7；當x=3時，f（x）有極小值．
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用函數的導數，函數的極值，列出方程組，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）通過函數的單調性，極值以及端點值，求解函數的最值即可，

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（-1）=0\\{f^/}（3）=0\\ f（-1）=7\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}3-2a+b=0\\ 27+6a+b=0\\-1+a-b+c=7\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-9\\ c=2\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）由（1），f′（x）=3（x+1）（x-3），當-1＜x＜3時，f′（x）＜0；當x＞3或x＜-1時，f′（x）＞0，故x=3時，f（x）取得極小值，極小值為f（3）=-25
又f（-2）=0∴f（x）在[-2，4]上的最小值為-25．…（12分）

點評 本題考查函數的最值的求法，函數的極值以及函數的單調性的應用，考查轉化思想與計算能力．