分析 (Ⅰ)求出導函數,通過導函數的符號,求解函數f(x)的單調區間;
(Ⅱ)化簡函數F(x)=xf(x)-$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$,通過當a≥-1時,當a≤-e時,若a∈(-e,-1),求解函數的最值,然后求解a的范圍;
(Ⅲ)當x≥1時,分離變量$a≤\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$,構造函數,通過函數的導數,求解函數的最值然后求解實數a的取值范圍.
解答 (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)∵f(x)=$\frac{lnx+x+1}{x}$,x>0,故$f'(x)=-\frac{lnx}{x^2}$,
則當x∈(0,1)時,f'(x)>0,當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,
故f(x)的單調增區間為(0,1),單調減區間為(1,+∞).
(Ⅱ)由已知可得$F(x)=xf(x)-\frac{{{x^2}+x+a}}{x}=lnx-\frac{a}{x}$,則可得 $F'(x)=\frac{x+a}{x^2}$,
當a≥-1時,F(x)在[1,e]上單調遞增,$F{(x)_{min}}=F(1)=-a=\frac{3}{2}$,∴$a=-\frac{3}{2}∉[-1,+∞)$,舍去;
當a≤-e時,F(x)在[1,e]上單調遞減,$F{(x)_{min}}=F(e)=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$,∴$a=-\frac{e}{2}∉(-∞,-e]$,舍去;
若a∈(-e,-1),F(x)在(1,-a)單調遞減,在(-a,e)單調遞增,∴$F{(x)_{min}}=F({-a})=ln({-a})+1=\frac{3}{2}$,$a=-\sqrt{e}∈({-e,-1})$,
綜上所述:$a=-\sqrt{e}$.
(Ⅲ)當x≥1時,不等式f(x)≥$\frac{a}{x+1}+1$可化為$a≤\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$,
令$g(x)=\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$,
則當x≥1時,不等式f(x)≥$\frac{a}{x+1}+1$恒成立可化為 a≤g(x)min,(x≥1),
可求$g'(x)=\frac{x-lnx}{x^2}$,
令h(x)=x-lnx,則$h'(x)=1-\frac{1}{x}≥0$,
故h(x)在[1,+∞)上是增函數,h(x)≥h(1)≥1,
所以$g'(x)=\frac{x-lnx}{x^2}>0$,$g(x)=\frac{(x+1)(1+lnx)}{x}$在[1,+∞)上是增函數,
所以g(x)min=g(1)=2,a≤2,
所以實數a的取值范圍為(-∞,2].
點評 本題考查函數的導數的綜合應用,函數的單調性以及函數的最值的求法,考查構造法以及轉化思想的應用,難度比較大.
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