Question

8．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，矩陣$[\begin{array}{l}{x}&{2+m}\\{3-m}&{3}\end{array}]$總存在特征向量，則m的取值范圍是[-2，3]．

Answer 1

分析 由特征多項(xiàng)式知f（λ）=（x-λ）（3-λ）-（2+m）（3-m），總存在特征向量即△≥0恒成立即可求出m范圍．

解答 解：由題意知：
f（λ）=（x-λ）（3-λ）-（2+m）（3-m）
=λ²-3（x+3）λ+m²-m-6；
∵總存在特征向量，
∴△=9（x+3）²-4（m²-m-6）≥0；
即：$\frac{9}{4}（x+3）^{2}≥\\;{m}^{2}-m-6=f（m）$ m²-m-6=f（m）；
$[\frac{9}{4}（x+3）^{2}]_{min}$≥f（m）；
0≥f（m）?-2≤m≤3；
故答案為：[-2，3]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩陣的特征多項(xiàng)式，以及二次函數(shù)的圖形特征，屬中等題．