Question

7．若冪函數f（x）的圖象經過點A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），設它在A點處的切線l，則過點A與l垂直的直線方程為4x+4y-3=0．

Answer 1

分析 利用待定系數法求出函數f（x）的解析式，然后求函數導數，利用導數的幾何意義進行求解切線斜率可得垂直直線斜率，由點斜式方程即可得到．

解答 解：設冪函數f（x）=x^α，
∵冪函數f（x）的圖象經過點A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{4}$）=（$\frac{1}{4}$）^α=$\frac{1}{2}$，即（$\frac{1}{2}$）^2α=$\frac{1}{2}$，
則2α=1，則α=$\frac{1}{2}$，即f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，
則f′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
則f′（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2=1，
則曲線y=f（x）在A點處的切線方程y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{4}$，
則過點A與l垂直的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{4}$），
即4x+4y-3=0．
故答案為：4x+4y-3=0．

點評 本題主要考查函數解析式的求解，以及函數切線方程的求解，利用導數的幾何意義和兩直線垂直的條件是解決本題的關鍵．