Question

14．已知函數f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²，若?x₀∈R，使得f（x₀）≤$\frac{1}{5}$成立，則實數a的值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 把函數看作是動點M（x，e^2x）與動點N（a，2a）之間距離的平方，利用導數求出曲線y=e^2x上與直線y=2x平行的切線的切點，得到曲線上點到直線距離的最小值，結合題意可得只有切點到直線距離的平方等于$\frac{1}{5}$，然后由兩直線斜率的關系列式求得實數a的值．

解答 解：函數f（x）=e^2x（e^2x-4a）+x（x-2a）+5a²=（e^2x-2a）²+（x-a）²，
函數f（x）可以看作是動點M（x，e^2x）與動點N（a，2a）之間距離的平方，
動點M在函數y=e^2x的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，
問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由y=e^2x得，y'=2e^2x=2，解得x=0，
∴曲線上點M（0，1）到直線y=2x的距離最小，
最小距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
則f（x）≥$\frac{1}{5}$，
根據題意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{5}$，
則f（x₀）=$\frac{1}{5}$，此時N恰好為垂足，
由k_MN=$\frac{2a-1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$

點評 本題考查利用導數求曲線上過某點切線的斜率，考查了數形結合和數學轉化思想方法，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．