Question

2．已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象與x軸有三個不同交點（0，0），（x₁，0），（x₂，0），且f（x）在x=1，x=2時取得極值，則x₁•x₂的值為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 不確定

Answer 1

分析 由f（0）=0，可得d=0．f′（x）=3ax²+2bx+c．根據f（x）在x=1，x=2時取得極值，可得f′（1）0=f′（2）=0．聯立解得$\frac{c}{a}$．又f（x）=x（ax²+bx+c），可得f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．可得x₁x₂=$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵f（0）=0，∴d=0．
f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=1，x=2時取得極值，
∴f′（1）=3a+2b+c=0，f′（2）=12a+4b+c=0，
a≠0，可得2×$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+3=0，$4×\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+12=0，解得$\frac{c}{a}$=6
又f（x）=x（ax²+bx+c），
f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．
∴x₁x₂=$\frac{c}{a}$=6．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．