Question

18．已知定義在R上的函數f（x）滿足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，且f（0）=0則下列命題正確的是①②③④．（寫出所有正確命題的序號）
①f（x）有極大值，沒有極小值；
②設曲線f（x）上存在不同兩點A，B處的切線斜率均為k，則k的取值范圍是$-\frac{1}{e^2}＜k＜0$；
③對任意x₁，x₂∈（2，+∞），都有$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立；
④當a≠b時，方程f（a）=f（b）有且僅有兩對不同的實數解（a，b）滿足e^a，e^b均為整數．

Answer 1

分析 由已知中函數f（x）滿足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，可得f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，逐一分析四個命題的真假，可得答案．

解答 解：①∵f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，
∴f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函數f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴函數f（x）的極大值是f（1），沒有極小值；
故①正確；
②∵k=f′（x）=（1-x）e^-x，
∴f″（x）=e^-x（x-2），
令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，
∴f′（x）在（-∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f′（x）_最小值=f′（x）_極小值=f′（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
而x→∞時，f′（x）→0，
∴k的取值范圍是$-\frac{1}{e^2}＜k＜0$；
故②正確；
③結合①②函數f（x）在（2，+∞）上是凹函數，
∴$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，
故③正確；
④當a≠b時，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，
則a∈（0，1），
則e^a∈（1，e），
又有e^a為整數．
故e^a=e^b=2，
同理a＞b時，也存在一對實數（a，b）使e^a=e^b=2，
故有兩對不同的實數解（a，b）滿足e^a，e^b均為整數．
故④正確；
故答案為：①②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了導數的綜合應用，難度較大．