Question

8．已知函數f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，-2）處的切線方程；
（2）當a≤0時，討論函數f（x）在其定義域內的單調性；
（3）若函數y=g（x）的圖象上存在一點P（x₀，g（x₀）），使得以P為切點的切線l將其圖象分割為c₁，c₂兩部分，且c₁，c₂分別位于切線l的兩側（點P除外），則稱x₀為函數y=g（x）的“轉點”，問函數y=f（x）（a≥0）是否存在這樣的一個“轉點”，若存在，求出這個“轉點”，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的函數，求出導數，求出切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導數，對a討論，a=0，a＜0，運用判別式結合二次方程的求根公式，解不等式即可得到單調區間，注意定義域；
（3）求出導數，對a討論，a=0，a＞0，由導數得到單調區間，進而得到最大值，即可說明不存在切割點；a＜0，由（2）可得單調區間，說明f（x）無最值，則存在切割點．

解答 解：（1）當a=1時，函數f（x）=lnx-x²-x
的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x-1，
則函數f（x）在（1，-2）處的切線斜率為1-2-1=-2，
即有函數f（x）在（1，-2）處的切線方程為y+2=-2（x-1），
即為2x+y=0；
（2）函數f（x）=lnx-ax²-x的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1=$\frac{-2{ax}^{2}-x+1}{x}$，（x＞0），
當a=0時，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當a＜0時，令h（x）=-2ax²-x+1，
當△≤0，即1+8a≤0，a≤-$\frac{1}{8}$時，h（x）≥0恒成立，即有f（x）遞增；
當△＞0，即1+8a＞0，a＞-$\frac{1}{8}$時，由h（x）=0可得x=$\frac{1±\sqrt{1+8a}}{-4a}$＞0，
當x＞$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-4a}$或0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$ 時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當  $\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-4a}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
綜上可得，當a=0時，f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；
當a≤-$\frac{1}{8}$時，f（x）的增區間為（0，+∞）；
當-$\frac{1}{8}$＜a＜0時，f（x）的增區間為（0，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$），（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-4a}$，+∞），
減區間為（   $\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-4a}$，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-4a}$）．
（3）函數f（x）=lnx-ax²-x的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1，
設A（x₀，f（x₀）），（x₀＞0），
則在A點處的切線l′方程為y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
令G（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀），則G（x₀）=0，
G′（x）=f′（x）-f′（x₀）=-（x-x₀）-$\frac{1+2{ax}_{0}x}{{xx}_{0}}$，（x＞0），
①當a≥0時，0＜x＜x₀，有G′（x）＞0；x＞x₀，有G′（x）＜0，
所以G（x）在（0，x₀]上單調遞增，在[x₀，+∞）上單調遞減，于是G（x）≤G（x₀）=0，
故f（x）都在切線l′的同側，此時不存在“轉點”，
②當a＜0時，取x₀=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，即2a=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
G′（x）≥0，
所以G（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又G（x₀）=0，所以當x∈（0，x₀）時，G（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，G（x）＞0，
于是f（x）的圖象在切線l′的兩側，所以x₀=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$為函數f（x）的一個“轉點“，
綜上所述：當a＜0時，存在x₀=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$是函數f（x）的一個“轉點”；
當a≥0時，y=f（x）不存在“轉點”．

點評 題考查導數的運用：求切線方程和判斷單調性和極值、最值，同時考查新定義的理解和運用，運用分類討論的思想方法和單調性的運用是解題的關鍵．