Question

3．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）證明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面C-OB₁-B二面角θ的大�。�

Answer 1

分析 （1）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁C⊥平面BB₁D₁D．
（2）求出平面OCB₁的一個法向量和平面BB₁D₁D的一個法向量，利用向量法能求出平面C-OB₁-B二面角θ的大小．

解答 證明：（1）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則由AB=AA₁=$\sqrt{2}$，得A₁（0，0，1），C（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），D₁（-1，-1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-2，1），B₁（-1，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$$•\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BD₁，
又BD∩BD₁=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D．
解：（2）$\overrightarrow{OC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（-1，1，1），
設平面OCB₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
設平面BB₁D₁D的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-a-2b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{2}$，
∴平面C-OB₁-B二面角θ的大小為60°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．