Question

13．（1）證明三倍角的余弦公式：cos3θ=4cos3θ-3cosθ；
（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．

Answer 1

分析 （1）將cos3θ化簡(jiǎn)為cos（2θ+θ），利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡(jiǎn)即可證得．
（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)，和同角三角關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求sin18°的值．

解答 解：（1）cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ-sin2θsinθ=（2cos²θ-1）cosθ-2sin²θcosθ=2cos³θ-cosθ-2（1-cos²θ）cosθ=4cos³θ-3cosθ．
（2）sin36°=cos54°，
∵sin36°=2sin18°cos18°
∵cos54°=4cos³18°-3cosθ．
∴2sin18°=4cos²18°-3．
則sin18°=2cos²18°-$\frac{3}{2}$．
2（1-sin²18°）-sin18°-$\frac{3}{2}$=0，
令sin18°=t，（t＞0）
則有：2-2t²-t-$\frac{3}{2}$=0，
解得：t=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即sin18°的值為：$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二倍角公式的運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．