Question

3．已知A，B是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，M是E上不同于A，B的任意一點，若直線AM，BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$，則E的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 設出M坐標，由直線AM，BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$得一關系式，再由點M在橢圓上變形可得另一關系式，聯立后結合隱含條件求得E的離心率．

解答 解：由題意方程可知，A（-a，0），B（a，0），
設M（x₀，y₀），∴${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}，{k}_{BM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{4}{9}$，整理得：$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$，①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，即$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，②
聯立①②，得$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$，解得e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．