Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂．，A₁關于直線bx+ay=0的對稱點在圓（x+a）²+y²=a²上，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出橢圓左頂點關于直線bx+ay=0的對稱點，代入圓（x+a）²+y²=a²整理得答案．

解答 解：由題意可知，A₁（-a，0），設A₁關于直線bx+ay=0的對稱點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{b•\frac{{x}_{0}-a}{2}+a•\frac{{y}_{0}}{2}=0}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=\frac{a}{b}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{a{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\end{array}\right.$．
代入（x+a）²+y²=a²，得$（a-\frac{a{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+（\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}={a}^{2}$，
整理得：b⁴+4a²b²=（a²+b²）²，即a²=2b²=2（a²-c²）=2a²-2c²，
∴$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查點關于直線的對稱點的求法，考查計算能力，是中檔題．