Question

2．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d=2，S₁₀=120．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若${b_n}={\sqrt{3}^{{a_n}-1}}$，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：（1）由等差數列{a_n}得：${S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×9}{2}×2=120$，從而a₁=3，
∴{a_n}的通項公式a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）${b_n}={\sqrt{3}^{{a_n}-1}}={3^n}$，而$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{3^n}=3$，
∴數列{b_n}是以b₁=3為首項，q=3為公比的等比數列，
∴{b_n}的前n項和為${T_n}=\frac{{{a_1}（{1-{q^n}}）}}{1-q}=\frac{{3×（{1-{3^n}}）}}{1-3}=\frac{3}{2}（{{3^n}-1}）$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．