Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且滿足a_na_n+1=2S_n，數列{b_n}滿足b₁=16，b_n+1-b_n=2n，則數列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$中第4項最小．

Answer 1

分析 利用遞推關系、等差數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：當n=1時，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∴a₂=2．
當n≥2時，2S_n=a_na_n+1，2S_n-1=a_n-1a_n，兩式相減得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數列，又a₁=1，a₂=2，
∴{a_n}是公差為1的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∵b₁=16，b_n+1-b_n=2n，∴b_n =（ b_n -b_n-1^）+（ b_n-1 -b_n-2^）+ （ b_n-2 -b_n-3^）+…+（ b₂ -b_1^）+b₁=n（n-1）+16
$\frac{bn}{an}$=n+$\frac{16}{n}$-1，利用基本不等式得n=4時n+$\frac{16}{n}$-1最小，∴數列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$中第 4項最小．

點評 求a_n通項公式時要比較奇數項和偶數項通項特征，求a_n通項公式時用累加法，最后用基本不等式求最值．