Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（m-2，m+3），$\overrightarrow{b}$=（2m+1，m-2），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為銳角，則m的取值范圍是（2，+∞∪（-∞，$\frac{-11-5\sqrt{5}}{2}$ ）∪（ $\frac{-11+5\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$ 與$\overrightarrow{b}$不共線，可得 $\left\{\begin{array}{l}{（m-2）•（2m+1）+（m+3）•（m-2）＞0}\\{{（m-2）}^{2}-（m+3）•（2m+1）≠0}\end{array}\right.$，由此求得m的范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（m-2，m+3），$\overrightarrow{b}$=（2m+1，m-2），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為銳角，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$ 與$\overrightarrow{b}$不共線，∴$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）•（2m+1）+（m+3）•（m-2）＞0}\\{{（m-2）}^{2}-（m+3）•（2m+1）≠0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{3m+4＞0}\\{{m}^{2}+11m-1≠0}\end{array}\right.$①，或  $\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{3m+4＜0}\\{{m}^{2}+11m-1≠0}\end{array}\right.$②；
解①求得m＞2；解②求得m＜$\frac{-11-5\sqrt{5}}{2}$，或 2＞m＞$\frac{-11+5\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：（2，+∞∪（-∞，$\frac{-11-5\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{-11+5\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{4}{3}$）．

點評 本題主要考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．