Question

9．已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）=|t（x+$\frac{4}{x}$）-5|，其中常數t＞0．
（Ⅰ）若函數f（x）分別在區間（0，2），（2，+∞）上單調，試求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）當t=1時，方程f（x）=m有四個不相等的實根x₁，x₂，x₃，x₄．
①求四根之積x₁x₂x₃x₄的值；
②在[1，4]上是否存在實數a，b（a＜b），使得f（x）在[a，b]上單調且取值范圍為[ma，mb]？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設h（x）=t（x+$\frac{4}{x}$）結合對勾函數的圖象和性質，可得函數h（x）在區間（0，2），（2，+∞）上單調，且h（x）≥4t，要使函數f（x）分別在區間（0，2），（2，+∞）上單調，只需4t-5≥0，解得：實數t的取值范圍；
（Ⅱ）當t=1時，由f（x）=m得|（x+$\frac{4}{x}$）-5|=m，即（x+$\frac{4}{x}$）-5=m，或（x+$\frac{4}{x}$）-5=-m，即x²-（m+5）x+4=0，或x²+（m+5）x+4=0，
①由韋達定理，可得四根之積x₁x₂x₃x₄的值；
②f（x）在區間（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞） 上均為單調函數，（1）當[a，b]⊆（1，2]時，f（x）在[a，b]上單調遞增，則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=ma\\ f（b）=mb\end{array}\right.$；（2）當[a，b]⊆（2，4]時，f（x）在[a，b]上單調遞減，則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=mb\\ f（b）=ma\end{array}\right.$；綜合討論結果，可得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設h（x）=t（x+$\frac{4}{x}$）
∵t＞0，
∴函數h（x）在區間（0，2），（2，+∞）上單調，且h（x）≥4t，
要使函數f（x）分別在區間（0，2），（2，+∞）上單調，
只需4t-5≥0，
∴t≥$\frac{5}{4}$ …（5分）
（Ⅱ） ①當t=1 時，由f（x）=m得|（x+$\frac{4}{x}$）-5|=m，
∴（x+$\frac{4}{x}$）-5=m，或（x+$\frac{4}{x}$）-5=-m，
即x²-（m+5）x+4=0，或x²+（m+5）x+4=0
∵x₁，x₂，x₃，x₄是方程f（x）=m的四個不相等的實根，
∴x₁x₂x₃x₄=4×4=16…（10分）

②f（x）在區間（0，1），（1，2），（2，4），（4，+∞） 上均為單調函數
（1）當[a，b]⊆（1，2]時，f（x）在[a，b]上單調遞增，則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=ma\\ f（b）=mb\end{array}\right.$
即m=$-\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{5}{a}-1$在a∈（1，2]時，有兩個不等實根
而令$\frac{1}{a}=t∈[\frac{1}{2}，1）$，則$-\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{5}{a}-1$=φ（t）=-4（t-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{9}{16}$，
則φ（t）=-4（t-$\frac{5}{8}$）²+$\frac{9}{16}$=m在[$\frac{1}{2}$，1）上有兩個根，
由當t=$\frac{5}{8}$時，函數φ（t）取最大值$\frac{9}{16}$，
當t=$\frac{1}{2}$時，φ（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，當t=1時，φ（1）=0，
故$\frac{1}{2}≤m＜\frac{9}{16}$…（13分）
（2）當[a，b]⊆（2，4]時，f（x）在[a，b]上單調遞減，則$\left\{\begin{array}{l}f（a）=mb\\ f（b）=ma\end{array}\right.$ 兩式相除得（a-b）（a+b-5）=0
∴a+b=5，
∴b=5-a＞a，
∴2＜a＜$\frac{5}{2}$，
由-a-$\frac{4}{a}$+5=mb得：m=$\frac{5-a-\frac{4}{a}}{5-a}$=1+$\frac{4}{（a-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{25}{4}}$∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{9}{25}$），
綜上，m的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，$\frac{9}{16}$） …（15分）

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，對勾函數的圖象和性質，分類討論思想，數形結合思想，難度中檔．