Question

17．在正項數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直線x-$\sqrt{2}$ y=0上，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 由點（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直線x-$\sqrt{2}$ y=0上，可得$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}_{n-1}}$=0，化為：a_n=2a_n-1．利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：∵點（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直線x-$\sqrt{2}$ y=0上，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}_{n-1}}$=0，化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項為2．
前n項和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、點與直線方程的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．