Question

7．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$，x∈R），在同一個周期內，當$x=\frac{π}{4}$時，函數取最大值3，當$x=\frac{7π}{12}$時，函數取最小值-1，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象上所有點向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的$\frac{3}{2}$倍，得到g（x）的圖象，討論g（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據最值計算A，B，根據周期計算ω，根據f（$\frac{π}{4}$）=3計算φ；
（2）根據函數圖象變換得出g（x）的解析式，求出g（x）的單調區間即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=1}\end{array}\right.$．
f（x）的周期T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$）=$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
∵f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{3π}{4}$+φ）+1=3，
∴$\frac{3π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，∴φ=-$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）+1．
（2）g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]∩[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]=[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]，
∴g（x）在[-$\frac{3}{8}$π，$\frac{π}{8}$]上單調遞增，在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{3π}{8}$]，[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上單調遞減．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質，函數圖象變換，屬于中檔題．