Question

16．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動點P在其表面上運動，且|PA|=x，把點的軌跡長度L=f（x）稱為“喇叭花”函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①$f（1）=\frac{3π}{4}$；②$f（\sqrt{2}）=\frac{3π}{2}$；③$f（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）=\frac{{5\sqrt{3}π}}{6}$；④$f（\frac{{\sqrt{21}}}{3}）=\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
其中正確的結(jié)論是：②③④．（填上你認為所有正確的結(jié)論序號）

Answer 1

分析 根據(jù)半徑的長度，確定動點P的位置，在求出相應(yīng)圓弧的半徑及圓心角，即可求解．

解答 解：∵動點P在其表面上運動，且|PA|=x，
∴點的軌跡是以A為球心，PA為半徑的球的球面與正方體的面的交線，
①當0＜x≤1時，點的軌跡如圖（1），則f（x）=3×$\frac{1}{4}×2πx=\frac{3πx}{2}$，所以$f（1）=\frac{3π}{2}$，故①錯；
                                                
②當1$＜x＜\sqrt{2}$時，點P的軌跡在六個面都有，
x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，在與A相鄰的三個面上的圓弧的圓心角為$\frac{π}{6}$，在另外三個面上都是四分之一圓弧，
∴$f（\frac{2\sqrt{3}}{3}）=3×\frac{1}{4}×2π×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{4}×2π×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}π}{6}$，故③正確
③當x=$\sqrt{2}$時，如圖（3）點P的軌跡是三段相等圓弧，圓弧的長是四分之一個圓，半徑是1，
∴這條軌跡的長度是：3×$\frac{1}{4}×2π×1=\frac{3π}{2}$，故②正確；

④當$\sqrt{2}＜x＜\sqrt{3}$時，點P的軌跡是三段相等圓弧，在與點A不相鄰的三個面上，圓弧半徑R=$\sqrt{（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{2}-{1}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
圓弧的圓心角為$\frac{π}{6}$，∴f$（\frac{\sqrt{21}}{3}）=\frac{1}{4}×2π×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}π$，故④正確；
故答案為：②③④

點評 本題考查了空間軌跡問題，熟練掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題，