Question

11．已知拋物線C：y²=4x，點M與拋物線C的焦點F關于原點對稱，過點M且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同兩點A，B，線段AB的中點為P，直線PF與拋物線C交于兩點E，D．
（Ⅰ）判斷是否存在實數k使得四邊形AEBD為平行四邊形．若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得P點坐標，求得直線PF的方程，代入拋物線方程，若四邊形AEBD為平行四邊形，當且僅當${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$=$\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2={x_3}+{x_4}$，即k²（k²-1）=0，求得k的值，由k不滿足|k|＜1且k≠0，故不存在k使得四邊形AEBD為平行四邊形．
（Ⅱ）由$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}=\frac{{{{（{\frac{2}{k^2}-2}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}{{{{（{\frac{2}{k^2}}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}=\frac{{{k^4}-{k^2}+1}}{{{k^2}+1}}={k^2}+1+\frac{3}{{{k^2}+1}}-3$，根據k的取值范圍，即可求得$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x+1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
顯然k≠0，且△＞0，即（2k²-4）²-4k⁴＞0，得|k|＜1且k≠0．
得${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$，x₁x₂=1，…（4分）
${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2}{k^2}-1$，${y_P}=k[（\frac{2}{k^2}-1）+1]=\frac{2}{k}$．
直線PF的方程為：$y=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-1）$，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k}{{1-{k^2}}}（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，
得$\frac{k^2}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}{x^2}+（\frac{{2{k^2}}}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}+4）x+\frac{k^2}{{{{（1-{k^2}）}^2}}}=0$，
得${x_3}+{x_4}=\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2$，x₃x₄=1，…（6分）
若四邊形AEBD為平行四邊形，
當且僅當${x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}$=$\frac{{4{{（1-{k^2}）}^2}}}{k^2}+2={x_3}+{x_4}$，
即k²（k²-1）=0，
得k=0，±1，與|k|＜1且k≠0矛盾．          …（8分）
故不存在實數k使得四邊形AEBD為平行四邊形；  …（9分）
（Ⅱ）$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}=\frac{{{{（{\frac{2}{k^2}-2}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}{{{{（{\frac{2}{k^2}}）}^2}+{{（{\frac{2}{k}}）}^2}}}=\frac{{{k^4}-{k^2}+1}}{{{k^2}+1}}={k^2}+1+\frac{3}{{{k^2}+1}}-3$，…（11分）
由|k|＜1且k≠0，得1＜k²+1＜2；
當${k^2}+1=\sqrt{3}$，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取得最小值$2\sqrt{3}-3$；
當k²+1=1時，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取1；當k²+1=2時，$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}$取$\frac{1}{2}$；
所以$\frac{{{{|{PF}|}^2}}}{{{{|{PM}|}^2}}}∈[2\sqrt{3}-3，1）$．…（13分）

點評 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，函數的最值與拋物線的應用，考查計算能力，屬于中檔題．