Question

15．如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．求二面角P-BC-D余弦值的大小．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：∵棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設平面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
設二面角P-BC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-BC-D的余弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．